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一、Simulink 系统仿真实例1. 方法一2. 方法二3. 方法三
二、S 函数的设计与应用1. 用 MATLAB 语言编写 S 函数1.1 主程序1.2 子程序
2. S 函数的应用
一、Simulink 系统仿真实例
下面的应用实例我们将分别采用不同建模方法为系统建模并仿真。例如，有初始状态为 0 的二阶微分方程
x
′
′
+
0.2
x
′
+
0.4
x
=
0.2
u
(
t
)
x''+0.2x'+0.4x=0.2u(t)
x′′+0.2x′+0.4x=0.2u(t)，其中
u
(
t
)
u(t)
u(t) 是单位阶跃函数，对此我们尝试建立系统模型并仿真 。
1. 方法一
我们利用 Integrator（积分器）模块直接构造求解微分方程的模型。我们将原微分方程改写为
x
′
′
=
0.2
u
(
t
)
−
0.2
x
′
−
0.4
x
x''=0.2u(t)-0.2x'-0.4x
x′′=0.2u(t)−0.2x′−0.4x
x
′
′
x''
x′′ 经积分作用得
x
‘
x‘
x‘，
x
′
x'
x′ 再经积分模块作用就得
x
x
x，而
x
′
x'
x′ 和
x
x
x 经代数运算又产生
x
′
′
x''
x′′，据此可以建立系统模型并仿真。步骤如下。（1） 利用 Simulink 模块库中的基本模块不难建立如下图所示的系统模型。
模型中各个模块说明如下。① u(t) 输入模块：它的 Step time 被设置为 0，模块名称由原来的 Step 改为 u(t)。② Gs 增益模块：增益参数 Gain 设置为 0.2。③ Add 求和模块：其图标形状 Icon shape 设置为 rectangular，符号列表 List of signs 设置为 ±-。④ Integrator 积分模块：参数不需要改变。⑤ G1 和 G2 反馈增益模块：增益参数分别设置为 0.4 和 0.2，它们的方向翻转可借助快捷菜单中的 Rotate & Flip
⟶
\longrightarrow
⟶Flip Block 命令或模型编辑窗口的 Diagram
⟶
\longrightarrow
⟶Rotate & Flip
⟶
\longrightarrow
⟶Flip Block 命令实现。（2） 设置系统仿真参数。打开 Configuration Parameters 窗口，把仿真的终止时间设置为 20s。（3） 仿真操作。双击示波器图标，打开示波器窗口。单击模型编辑窗口工具栏中的 Run 按钮，就可在示波器窗口中看到仿真结果的变化曲线，如下图所示。
2. 方法二
利用传递函数模块（Transfer Fcn）建模。对方程
x
′
′
+
0.2
x
′
+
0.4
x
=
0.2
u
(
t
)
x''+0.2x'+0.4x=0.2u(t)
x′′+0.2x′+0.4x=0.2u(t) 两边取 Laplace 变换，得
s
2
X
(
s
)
+
0.2
s
X
(
s
)
+
0.4
X
(
s
)
=
0.2
U
(
s
)
s^{2}X(s)+0.2sX(s)+0.4X(s)=0.2U(s)
s2X(s)+0.2sX(s)+0.4X(s)=0.2U(s)经整理得传递函数
G
(
s
)
=
X
(
s
)
U
(
s
)
=
0.2
s
2
+
0.2
s
+
0.4
G(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{0.2}{s^{2}+0.2s+0.4}
G(s)=U(s)X(s)=s2+0.2s+0.40.2在 Continuous 模块库中有标准的传递函数（Transfer Fcn）模块可供调用，于是，就可以构建求解微分方程的模型并仿真。根据系统传递函数构建如下图所示的仿真模型。
模型中各个模块说明如下。（1） u(t) 模块：设置 Step time 为 0。（2） G(S) 模块：双击 Transfer Fcn 模块，打开参数设置对话框，在 Numerator coefficients 文本框中输入传递函数的分子多项式系数 [0.2]，在 Denominator coefficients 文本框中输入传递函数的分母多项式的系数 [1,0.2,0.4]，如下图所示。
以后的操作与方法 1 相同。
3. 方法三
利用状态方程模块（State-Space）建模。若令
x
1
=
x
x_{1}=x
x1=x，
x
2
=
x
′
x_{2}=x'
x2=x′，那么微分方程
x
′
′
+
0.2
x
′
+
0.4
x
=
0.2
u
(
t
)
x''+0.2x'+0.4x=0.2u(t)
x′′+0.2x′+0.4x=0.2u(t) 可写成
x
′
=
[
x
1
′
x
2
′
]
=
[
0
1
−
0.4
−
0.2
]
[
x
1
x
2
]
+
[
0
0.2
]
u
(
t
)
x'=\begin{bmatrix}x^{'}_{1} \\x^{'}_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&1 \\ -0.4&-0.2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1} \\x_{2} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\0.2 \end{bmatrix}u(t)
x′=[x1′x2′]=[0−0.41−0.2][x1x2]+[00.2]u(t)写成状态方程为
{
x
′
=
A
x
+
B
u
y
=
C
x
+
D
u
\left\{\begin{matrix}x^{'}=Ax+Bu \\y=Cx+Du \end{matrix}\right.
{x′=Ax+Buy=Cx+Du式中，
A
=
[
0
1
−
0.4
−
0.2
]
A=\begin{bmatrix} 0&1 \\ -0.4 &-0.2 \end{bmatrix}
A=[0−0.41−0.2]，
B
=
[
0
−
0.2
]
B=\begin{bmatrix} 0 \\ -0.2 \end{bmatrix}
B=[0−0.2]，
C
=
[
1
0
]
C=\begin{bmatrix} 1&0 \end{bmatrix}
C=[10]，
D
=
0
D=0
D=0。在 Continuous 模块库中有标准的状态方程（State-Space）模块可供调用，于是，就可以构建求解微分方程的模型并仿真。根据系统状态方程构建如下图所示的仿真模型。
模型中各个模块说明如下：（1） u(t) 输入模块：它的 Step time 被设置为 0。（2） State-Space 模块：A、B、C、D 各文本框中依次输入 [0,1;-0.4,-0.2]、[0;0.2]、[1,0] 和 0，如下图所示。
后面的操作与方法 1 相同。
二、S 函数的设计与应用
S 函数用于开发新的 Simulink 通用功能模块，是一种对模块库进行扩展的工具。S 函数可以采用 MATLAB 语言以及 C、C++、FORTRAN 等语言编写。在 S 函数中使用文本方式输入公式、方程，非常适合复杂动态系统的数学描述，并且在仿真过程中可以对仿真进行更精确的控制。S 函数称为系统函数（System Function），采用非图形化的方式描述功能模块。MATLAB 语言编写的 S 函数可以充分利用 MATLAB 所提供的丰富资源，方便地调用各种工具箱函数和图形函数使用；C 语言编写的 S 函数可以实现对操作系统的访问，如实现与其他进程的通信和同步等。非 MATLAB 语言编写的 S 函数需要用编译器生成 MEX 文件。
1. 用 MATLAB 语言编写 S 函数
S 函数有固定的程序格式,可以从 Simulink 提供的 S 函数模板程序开始构建自己的 S 函数。
1.1 主程序
S 函数主程序的引导语句如下：
function [sys,x0,str,ts]=fname(t,x,u,flag)
其中，fname 是 S 函数的函数名，t、x、u、flag 分别为仿真时间、状态向量、输入向量和子程序调用标志。 flag 控制在仿真的各阶段调用 S 函数的哪一个子程序，其含义和有关信息如下表所示。
取值功能调用函数名返回参数0初始化mdllnitializeSizessys 为初始化参数，x0、str、ts 如定义1计算连续状态变量的导数mdlDerivativessys 返回连续状态2计算离散状态变量的更新mdIUpdatesys 返回离散状态3计算输出信号mdlOutputssys 返回系统输出4计算下一个采样时刻mdlGetTimeOfNextVarHitsys 返回下一步仿真的时间9结束仿真任务mdlTerminate无
Simulink 每次调用 S 函数时，必须给出这 4 个参数。sys、x0、str 和 ts 是 S 函数的返回参数。sys 是一个返回参数的通用符号，它得到何种参数取决于 flag 值。例如，flag=3 时，sys 得到的是 S 函数的输出向量值。x0 是初始状态值，如果系统中没有状态变量，x0 将得到一个空阵。str 仅用于系统模型同 S 函数 API（应用程序编程接口）的一致性校验。对于 M 文件 S 函数，它将被置成一个空阵。ts 是一个两列矩阵，一列是 S 函数中各状态变量的采样周期，另一列是相应的采样时间的偏移量。采样周期按递增顺序排列，ts 中的一行对应一个采样周期。对于连续系统，采样周期和偏移量都应置成 0。如果取采样周期为 -1，则将继承输入信号的采样周期。此外，在主程序输入参数中还可以包括用户自定义参数表: pl，p2，…，pn，这也就是希望赋给 S 函数的可选变量，其值通过相应 S 函数的参数对话框设置，也可以在命令行窗口赋值。于是 S 函数主程序的引导语句可以写成
function [sys,x0,str,ts]=fname(t,x,u,flag,pl,p2,…,pn)
主程序采用 switch-case 语句，引导 Simulink 到正确的子程序。
1.2 子程序
M 文件 S 函数共有 6 个子程序，供 Simulink 在仿真的不同阶段调用，这些子程序的前缀为 mdl。每一次调用 S 函数时，都要给出一个 flag 值，实际执行 S 函数中与该 flag 值对应的那个子程序。Simulink 在仿真的不同阶段，需要调用 S 函数中不同的子程序。（1） 初始化子程序 mdlInitializeSizes。子程序 mdlInitializeSizes 定义 S 函数参数，如采样时间、输入量、输出量、状态变量的个数以及其他特征。为了向 Simulink 提供这些信息，在子程序 mdlInitializeSizes 的开始处，应调用 simsizes 函数，这个函数返回一个 sizes 结构，结构的成员 sizes.NumContStates、sizes.NumDiscStates、sizes.NumOutputs 和 sizes.NumInputs 分别表示连续状态变量的个数、离散状态变量的个数、输出的个数和输入的个数。这 4 个值可以置为 -1，使其大小动态改变。成员 sizes.DirFeedthrough 是直通标志，即输入信号是否直接在输出端出现的标志，是否设定为直通，取决于输出是否为输入的函数，或者取样时间是否为输入的函数。1 表示 yes，0 表示 no。成员 sizes.NumSampleTimes 是模块采样周期的个数，一般取 1。按照要求设置好的结构 sizes 用 sys=simsizes(sizes) 语句赋给 sys 参数。除了 sys 外，还应该设置系统的初始状态变量 x0、说明变量 str 和采样周期变量 ts。（2） 其他子程序。状态的动态更新使用 mdlDerivatives 和 mdIUpdate 两个子程序，前者用于连续状态的更新，后者用于离散状态的更新。这些函数的输出值，即相应的状态，均由 sys 变量返回。对于同时含有连续状态和离散状态的混合系统，则需要同时写出这两个函数来分别描述连续状态和离散状态。模块输出信号的计算使用 mdlOutputs 子程序，系统的输出仍由 sys变量返回。一般应用中很少使用 flag 为 4 和 9 的情况，mdlGetTimeOfNextVarHit 和 mdlTerminate 两个子程序较少使用。
2. S 函数的应用
下面来看两个简单的 M 文件 S 函数例子。例如，我们采用 S 函数实现
y
=
n
x
y=nx
y=nx，即把一个输入信号放大
n
n
n 倍。（1） 利用 MATLAB 语言编写 S 函数，程序如下。
%****************************************
%S函数timesn.m，其输出是输入的n倍
%****************************************
function [sys,x0,str,ts]=timesn(t,x,u,flag,n)
switch flag
case 0
[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes; %初始化
case 3
sys=mdloutputs(t,x,u,n); %计算输出量
case {1,2,4,9}
sys=[];
otherwise %出错处理
error(num2str(flag));
end
%****************************************
%mdlInitializesizes:当flag为0时进行整个系统的初始化
%******************** ********************
function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes()
%调用函数simsizes以创建结构sizes
sizes=simsizes;
%用初始化信息填充结构sizes
sizes.NumContStates=0; %无连续状态
sizes.NumDiscStates=0; %无离散状态
sizes.NumOutputs=1; %有一个输出量
sizes.NumInputs=1; %有一个输入信号
sizes.DirFeedthrough=1; %输出量中含有输入量
sizes.NumSampleTimes=1; %单个采样周期
%根据上面的设置设定系统初始化参数
sys=simsizes(sizes);
%给其他返回参数赋值
x0=[]; %设置初始状态为零状态
str=[]; %将str变量设置为空字符串
ts=[-1,0]; %假定继承输入信号的采样周期
%初始化子程序结束
%****************************************
% mdlOutputs:当flag值为3时，计算输出量
%****************************************
function sys=mdloutputs(t,x,u,n)
sys=n*u;
%输出量计算子程序结束
将该程序以文件名 timesn.m 存盘。编好 S 函数后，就可以对该模块进行封装和测试了。（2） 模块的封装与测试。① 建立 S-Function 模块和编写的S函数文件之间的联系。新建一个模型，向模型编辑窗口中添加 User-Defined Functions 子模块库中的 S-Function 模块、Sine Wave 模块和 Scope 模块，构建如下图所示的仿真模型。
在模型编辑窗口中双击 S-Function 模块打开如下图所示的参数对话框，在 S-functionname 编辑框中输入 S 函数名 timesn 在 S-function parameters 编辑框中输入外部参数 n。n 可以在 MATLAB 工作空间中用命令定义。如果有多个外部参数，参数之间用逗号分隔。
② 模型封装。其具体操作与子系统的封装类似。在模型编辑窗口选中 S-Function 模块，再选择 Diagram
⟶
\longrightarrow
⟶Mask
⟶
\longrightarrow
⟶Create Mask 命令，或按 Ctrl+M 键，打开封装编辑器，选择 Parameters & Dialog 选项卡，在左侧控件工具箱中单击 Edit 工具，往中间的 Dialog box 区域的控件列表中添加编辑框控件 #1，选中该控件后，在右侧的 Property editor 区域中，在 Name 栏输入 n，Prompt 栏输入 “放大倍数”，勾选 Evaluate 复选框，具体如下图所示。
- 设置完成后单击 OK 按钮。S 函数模块被封装后，双击它，则得到如下图所示的模块参数对话框。
当输入 n 的值为 10 时，得到的仿真结果如下图所示。
例如，我们采用 S 函数构造非线性分段函数
y
=
{
3
x
x
<
1
3
1
≤
x
<
3
3
−
(
x
−
3
)
2
3
≤
x
<
4
2
4
≤
x
<
5
2
−
(
x
−
5
)
2
5
≤
x
<
6
1
x
≥
6
y=\left\{\begin{matrix} 3\sqrt{x}& x< 1\\ 3 & 1\le x< 3\\ 3-(x-3)^{2} &3\le x< 4 \\ 2 & 4\le x< 5\\ 2-(x-5)^{2} & 5\le x< 6\\ 1 &x\ge 6 \end{matrix}\right.
y=⎩
⎨
⎧3x
33−(x−3)222−(x−5)21x<11≤x<33≤x<44≤x<55≤x<6x≥6。（1） 利用 MTALAB 语言编写 S 函数，程序如下：
function [sys,x0,str,ts]=sfunction(t,x, u,flag)
switch flag
case 0
[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes;
case 3
sys=mdlOutputs(t,x,u);
case {1,2,4,9}
sys=[];
otherwise
error(['Unhandled flag=',num2str(flag)]);
end
function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes
sizes=simsizes;
sizes.NumContStates=0;
sizes.NumDiscStates=0;
sizes.NumOutputs=1;
sizes.NumInputs=1;
sizes.DirFeedthrough=1;
sizes.NumSampleTimes=1;
sys=simsizes(sizes);
x0=[];
str=[];
ts=[0,0];
function sys=mdlOutputs(t,x,u)
if u<1
sys=3*sqrt(u);
elseif u>=1&&u<3
sys=3;
elseif u>=3&&u<4
sys=3-(u-3)^2;
elseif u>=4&&u<5
sys=2;
elseif u>=5&&u<6
sys=2-(u-5)^2;
else
sys=1;
end
将该程序以文件名 sfunction.m 存盘。（2） 模块的测试。向模型编辑窗口中添加 S-Function 模块，并在其参数设置对话框中输入 M 文件名 sfunction，构建如下图所示的仿真模型。
运行即可得到如下图所示的仿真结果。